本发明公开了一种单输入单输出时滞系统的分数阶PID控制方法,步骤如下:1)利用工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识,得到被控对象的传递函数模型;2)适当地选取控制器参数积分阶次λ和微分阶次μ,使其满足条件0<λ<2和0<μ<2;3)对于给定的λ,μ,通过遍历一个控制参数,计算二维平面上关于另外两个控制参数的稳定域边界线;4)通过判断边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点,确定被这些边界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域;5)建立分数阶PID控制器监控模块,通过鼠标点击图形界面上的控制参数稳定域选取控制参数,使其满足预定的性能指标值。本发明适用于具有任意传递函数模型的单输入单输出系统。
1.一种单输入单输出时滞系统的分数阶PID控制方法,其特征在于,具体步骤如下:(1)在系统进入分数阶PID控制器的设计之前,先利用工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识,得到具有如下传递函数的被控对象模型 G ( s ) = N ( s ) D s e - θs ]]>其中,ntent="drawing" img-format="tif" inline="yes" orientation="portrait" wi="671"/>a_i,b_i,α_i,β_i,i=0,1,2,...,n为任意实数且满足β_n>...>β₁>β₀≥0,α_n>...>α₁>α₀≥0和α_n>β_n;(2)适当地选取分数阶PID控制器C(s)=k_p+k_i/s^λ+k_ds^μ中的积分阶次λ和微分阶次μ,使其满足条件0<λ<2和0<μ<2;(3)对于给定的λ,μ,根据被控对象的模型参数,通过遍历一个控制参数,计算二维平面上关于另外两个控制参数的稳定域边界线,参数空间的边界线由下述三部分组成:(a)实根边界(RRB):k_i=0(b)无限边界(IRB):存在三种无限边界线当β_n+μ>α_n时,IRB曲线为k_d=0;当β_n+μ=α_n时,IRB曲线可以表示为-a_n/b_n≤k_d≤a_n/b_n;当β_n+μ<α_n时,IRB曲线不存在;(c)复根边界(CRB):当λ+μ≠2时,采用3-D法计算复根边界线;当λ+μ=2时,采用奇异频率法来计算复根边界线;(4)通过判断实根边界(RRB)、无限边界(IRB)和复根边界(CRB)的哪一侧具有更少的不稳定极点,确定被这些边界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域,令 f 1 ( ω ) = - R A R B - I A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) , f 2 ( ω ) = I A R B - R A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) ]]> g ( ω ) = ω λ sin ( λ π 2 ) ( f 1 ( ω ) cos ( ωθ ) - f 2 ( ω ) sin ( ωθ ) ) ]]> h ( ω ) = - ω λ k p cos ( λ π 2 ) ]]>其中,R_A和I_A分别表示在s=jω时N(s)的实部和虚部,R_B和I_B分别表示在s=jω时s^λD(s)的实部和虚部,本发明根据以下规则确定稳定域位于边界线的哪一侧:(a)当λ+μ<2时,沿着ω增大的方向,稳定域位于边界线的左侧;(b)当λ+μ>2时,沿着ω增大的方向,稳定域位于边界线的右侧;(c)当λ+μ=2时,按以下规则判别:(I)若k_i>0,则k_p>[f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)]_ω=0;(II)若k_i<0,则k_p<[f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)]_ω=0;(III)当所有ω_η∈Ω⁺时,k_i<ω_η²k_d+g(ω_η)+h(ω_η);(IV)当所有ω_η∈Ω^-时,k_i>ω_η²k_d+g(ω_η)+h(ω_η);其中,Ω⁺={ω_η∈R⁺|f(ω_η)-k_p=0∧f"(ω_η)>0}Ω^-={ω_η∈R⁺|f(ω_η)-k_p=0∧f"(ω_η)<0}f(ω)=f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)且f′(ω)为f(ω)关于ω的导数;(5)基于步骤(3)和(4)中求解控制参数稳定域的算法和GUI开发软件在工控机中实现分数阶PID控制器的调节、仿真,建立分数阶PID控制器监控模块,用户界面能够进行被控对象模型的参数输入,超调、幅值裕度和相位裕度等性能指标的设置,控制参数稳定域和系统输出响应曲线的显示,并通过鼠标点击所获得的控制参数区域中各组不同的控制参数值,给出所对应的输出响应曲线及系统各性能指标的值;若不满足预定的性能指标值,则重新选取控制参数,若满足,则可切换到在线控制状态,直接对被控对象进行控制。
2.根据权利要求1所述的单输入单输出时滞系统的分数阶PID控制方法,其特征在于所述的步骤(3)中,(a)当λ+μ≠2时,采用3-D法计算复根边界线,边界线表达式为 k i = B 1 D 2 - B 2 D 1 + k p ( B 1 C 1 - B 2 C 1 ) A 1 B 2 - A 2 B 1 k d = A 2 D 1 - A 1 D 2 + k p ( A 2 C 1 - A 1 C 2 ) A 1 B 2 - A 2 B 1 ]]>其中, A 1 = Σ i = 0 n b i ω β i cos [ ( β i ) π 2 ] ]]> A 2 = Σ i = 0 n b i ω β i sin [ ( β i ) π 2 ] ]]> B 1 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ + μ cos [ ( β i + λ + μ ) π 2 ] ]]> B 2 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ + μ sin [ ( β i + λ + μ ) π 2 ] ]]> C 1 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ cos [ ( β i + λ ) π 2 ] ]]> C 2 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ sin [ ( β i + λ ) π 2 ] ]]> D 1 = Σ i = 0 n a i ω α i + λ cos [ ( α i + μ ) π 2 + ωθ ] ]]> D 2 = Σ i = 0 n a i ω α i + λ sin [ ( α i + λ ) π 2 + ωθ ] ]]>(b)当λ+μ=2时,采用3-D法无法计算出复根边界线,采用奇异频率法来计算复根边界线,边界线表达式为 k p = f 1 ( ω ) sin ( ωθ ) + f 2 cos ( ωθ ) k i = ω 2 k d + g ( ω ) + h ( ω ) ]]>其中, f 1 ( ω ) = - R A R B - I A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) , f 2 ( ω ) = I A R B - R A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) ]]> g ( ω ) = ω λ sin ( λ π 2 ) ( f 1 ( ω ) cos ( ωθ ) - f 2 ( ω ) sin ( ωθ ) ) ]]> h ( ω ) = - ω λ k p cos ( λ π 2 ) ]]>R_A和I_A分别表示在s=jω时N(s)的实部和虚部,R_B和I_B分别表示在s=jω时s^λD(s)的实部和虚部。技术领域
本发明涉及一种用于工业过程控制技术领域的方法,具体是一种单输入单输出时滞系统的分数阶PID控制方法。
背景技术
PID控制器以其结构简单,通用性强及易于操作等优点,被广泛应用于造纸、冶金、化工和机械等实际工业过程控制系统中。实际运行经验和理论分析都充分证明了PID控制器在对众多的工业对象进行控制时能在现场获得满意的控制效果。常规PID控制器的微分和积分项次数都是整数阶的,而且针对的被控对象也都是整数阶的。然而现实中有许多系统是属于分数阶的,用整数阶模型来描述这类系统会使数学模型与实际系统之间存在较大的误差,导致不能准确地描述实际系统的动态特性。过去用整数阶模型描述这类系统是因为缺乏相应求解分数阶微分方程的数学工具。随着分数微积分理论的不断发展并取得了重要的成果,可以采用分数阶数学模型描述实际分数阶系统。在很多方面应用分数阶微积分的数学模型,可以更准确地描述实际系统的动态响应,可以提高对于动态系统的设计、表征和控制能力。基于分数阶被控系统,I.Podlubny教授提出了分数阶PID控制器。分数阶PI^λD^μ控制器是对整数阶PID控制器的突破性改进,传递函数为:C(s)=K_P+K_Is^-λ+K_Ds^μ,其中,积分阶次λ和微分阶次μ均为正实数。由于分数阶PI^λD^μ控制器比整数阶PID控制器多了两个可调参数,且分数阶导数具有独特的记忆功能,所以它的设计更灵活,控制性能更优,鲁棒性更强,能更好地调节分数阶被控系统达到性能指标。分数阶PID控制的意义就是对于传统的整数阶PID控制的普遍化,它不仅包含了所有典型的PID控制器模型,还可以提供建立更多的模型,得到更好的控制效果,以满足各种性能需求,达到更好的控制效果。近年来分数阶PID控制理论与应用已取得一定的进展,经对现有技术的文献检索发现,Xue,D.在文献Fractionalxa0Orderxa0PIDxa0Controlxa0ofxa0Axa0DC-Motorxa0withxa0Elaticxa0Shaft:Axa0Casexa0Study(Americanxa0Controlxa0Conference,2006,3182-3187.)中提出基于ITAE和ISE最优指标的分数阶PID控制器设计及λ,μ的取值,并与传统PID的上述最优指标设计进行了性能对比。Hamamci,S.E.在文献Stabilizationxa0Usingxa0Fractional-orderxa0PIxa0andxa0PIDxa0Controllers(Nonlinearxa0Dynamics,2008,51(1-2),329-343)采用图解的方法研究了分数阶PI^λ和PI^λD^μ控制器对分数阶系统的镇定问题。Vinagre,B.M.在文献Usingxa0Fractionalxa0Orderxa0Adjustmentxa0Rulesxa0andxa0Fractionalxa0Orderxa0Referencexa0Modelsxa0inxa0Model-Referencexa0Adaptivexa0Control(Nonlinearxa0Dynamics,2002,269-279)将模型参考自适应算法进行改进,对分数阶PI^λD^μ控制器的参数进行了整定。虽然近年来分数阶控制理论与应用已取得一定的进展,但仍处于研究的起步阶段。对于分数阶PI^λD^μ控制器的镇定性研究还很少,现有的研究方法都是以图解的形式给出控制参数的稳定域,无法以解析的方式实现控制器的参数化,控制器积分阶次和微分阶次与控制域边界之间的关系不明确;对于现有的分数阶PI^λD^μ控制器设计方法,在设计过程中仅能考虑一种性能指标,无法实现直观地解析设计。
发明内容
本发明的目的在于针对现有分数阶PID控制理论、应用和实现上的不足,提出了一种适用于单输入单输出线性时滞系统的满足幅值裕度、相位裕度、超调等多种性能指标要求的分数阶PID控制方法。首先利用解析方法确定分数阶PI^λD^μ控制参数的稳定域,在控制器结构固定的情况下,完成控制器的参数化,并给出微分阶次和积分阶次取不同值时控制参数的稳定域及控制参数取值与稳定域之间的变化规律;然后,实现分数阶PID控制器设计的GUI人机交互界面,通过对GUI软件中分数阶系统以及分数阶PID控制器的参数取值,直观地得到控制参数在稳定域中取不同值时系统在控制器的调节下的各性能指标值变化情况和输出响应曲线,让用户最简单化地完成控制器及系统的设计与仿真。对任意阶单输入单输出线性时滞系统,能够快速、有效和准确地给出分数阶PID控制参数稳定域,可通过参数的选取和调节实现良好的控制效果。本发明解决其技术问题所采用的技术方案是:先利用工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识,得到被控对象模型参数;然后根据被控对象模型参数,计算出控制参数稳定域边界线,并判断稳定域位于边界线的哪一侧,得到分数阶PID控制参数稳定域;最后,用GUI软件工具编制成相应的分数阶PID控制监控模块进行控制器调节、仿真与验证,明确给出稳定域中不同控制参数取值与系统各性能指标之间的关系,确定能够满足不同性能指标要求的控制参数值,并将设计出的分数阶PID控制器应用到工控系统中对实际被控对象进行控制。具体步骤如下:(1)在系统进入分数阶PID控制器的设计之前,先利用工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识,得到具有如下传递函数的被控对象模型 G ( s ) = N ( s ) D ( s ) e - θs - - - ( 1 ) ]]>其中,ntent="drawing" img-format="tif" inline="yes" orientation="portrait" wi="312"/>ntent="drawing" img-format="tif" inline="yes" orientation="portrait" wi="331"/>a_i,b_i,α_i,β_i,i=0,1,2,...,n为任意实数且满足β_n>...>β₁>β₀≥0,α_n>...>α₁>α₀≥0和α_n>β_n。(2)适当地选取控制器参数λ和μ。分数阶PID控制器C(s)其形式为 C ( s ) = k p + k i s λ + k d s μ - - - ( 2 ) ]]>其中,λ和μ为分数阶次,k_p为比例系数,k_i为积分系数,k_d为微分系数。为保证本发明中分数阶PID控制器的可实现性,需要对分数阶PID控制器参数λ和μ的取值范围加一个约束条件,规定λ和μ的取值范围为(0,2)。因为当λ≥2或者μ≥2时,PID控制器将变为更高阶的结构形式,不同于本发明的分数阶PID控制器结构形式。当λ=0和μ=0时得到放大器模型,本发明也不涉及这一特殊形式。使λ=1以及μ=1,能够得到一个典型的PID控制器模型。当λ=1和μ=0时为PI控制器,λ=0和μ=1时为PD控制器。所有这些典型的PID控制器模型都是分数阶PI^λD^μ控制器的特殊形式。(3)对于给定的λ,μ,根据被控对象的模型参数,通过遍历一个控制参数,计算二维平面上由另外两个控制参数组成的稳定域边界线。参数空间的边界线由下述三部分组成:(a)实根边界(RRB):k_i=0(b)无限边界(IRB):存在三种无限边界线当β_n+μ>α_n时,IRB曲线为k_d=0;当β_n+μ=α_n时,IRB曲线可以表示为-a_n/b_n≤k_d≤a_n/b_n;当β_n+μ<α_n时,IRB曲线不存在。(c)复根边界(CRB):(I)当λ+μ≠2时,采用3-D法计算复根边界线,边界线表达式为 k i = B 1 D 2 - B 2 D 1 + k p ( B 1 C 2 - N 2 C 1 ) A 1 B 1 - A 2 B 1 k d = A 2 D 1 - A 1 D 2 + k p ( A 2 C 1 - A 1 C 2 ) A 1 B 2 - A 2 B 1 - - - ( 3 ) ]]>其中, A 1 = Σ i = 0 n b i ω β i cos [ ( β i ) π 2 ] ]]> A 2 = Σ i = 0 n b i ω β i sin [ ( β i ) π 2 ] ]]> B 1 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ + μ cos [ ( β i + λ + μ ) π 2 ] ]]> B 2 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ + μ sin [ ( β i + λ + μ ) π 2 ] ]]> C 1 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ cos [ ( β i + λ ) π 2 ] ]]> C 2 = Σ i = 0 n b i ω β i + λ sin [ ( β i + λ ) π 2 ] ]]> D 1 = Σ i = 0 n a i ω α i + λ cos [ ( α i + λ ) π 2 + ωθ ] ]]> D 2 = Σ i = 0 n a i ω α i + λ cos [ ( α i + λ ) π 2 + ωθ ] ]]>(II)当λ+μ=2时,采用3-D法无法计算出复根边界线,采用奇异频率法来计算复根边界线。边界线表达式为 k p = f 1 ( ω ) sin ( ωθ ) + f 2 cos ( ωθ ) k i = ω 2 k d + g ( ω ) + h ( ω ) ]]>其中, f 1 ( ω ) = - R A R B - I A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) , ]]> f 2 ( ω ) = - I A R B - R A I B ω λ sin ( λ π 2 ) ( R A 2 + I A 2 ) , ]]> g ( ω ) = ω λ sin ( λ π 2 ) ( f 1 ( ω ) cos ( ωθ ) - f 2 ( ω ) sin ( ωθ ) ) ]]> h ( ω ) = - ω λ k p cos ( λ π 2 ) ]]>R_A和I_A分别表示在s=jω时N(s)的实部和虚部,R_B和I_B分别表示在s=jω时s^λD(s)的实部和虚部。(4)通过判断实根边界(RRB)、无限边界(IRB)和复根边界(CRB)的哪一侧具有更少的不稳定极点,从而确定被这些边界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域。本发明根据以下规则确定稳定域位于边界线的哪一侧:(a)当λ+μ<2时,沿着ω增大的方向,稳定域位于边界线的左侧;(b)当λ+μ>2时,沿着ω增大的方向,稳定域位于边界线的右侧;(c)当λ+μ=2时,按以下规则判别:(I)若k_i>0,则k_p>[f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)]_ω=0;(II)若k_i<0,则k_p<[f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)]_ω=0;(III)当所有ω_η∈Ω⁺时,k_i<ω_η²k_d+g(ω_η)+h(ω_η);(IV)当所有ω_η∈Ω^-时,k_i>ω_η²k_d+g(ω_η)+h(ω_η);其中,Ω⁺={ω_η∈R⁺|f(ω_η)-k_p=0^f′(ω_η)>0}Ω^-={ω_η∈R⁺|f(ω_η)-k_p=0^f′(ω_η)<0}f(ω)=f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)(5)基于步骤(3)和(4)中求解控制参数稳定域的算法和GUI开发软件在工控机中实现分数阶PID控制器的调节、仿真,建立分数阶PID控制器监控模块,对离线仿真、调试和对被控对象的在线实际控制进行灵活切换。本专利中的用户界面能够进行被控对象模型的参数输入,超调、幅值裕度和相位裕度等性能指标的设置,控制参数稳定域和系统输出响应曲线的显示,并通过鼠标点击所获得的控制参数区域中各组不同的控制参数值,给出所对应的输出响应曲线及系统各性能指标的值。根据各个性能指标,用户可直观地判断所选取的控制参数能否使系统到达预期的性能指标。若所选取的控制参数能够满足给定的不同性能指标要求,则可切换到在线控制状态,直接实现分数阶PID控制器对被控对象的实际控制,并可进一步根据实际模型误差和外界环境干扰信号进行控制参数微调。
附图说明
图1是采用本发明方法的工作流程图。图2为本发明采用分数阶PID控制器的设计方法所用的闭环控制结构图。其中C为控制器,G为被控对象,r和y分别为闭环系统的输入和输出,e为偏差信号,u为控制器输出,d为干扰信号。图3为本发明实施例中k_p=1,λ=0.5,μ=1.2时,(k_d,k_i)平面上的参数稳定域,其中,红色虚线为实根边界(RRB)和无限边界(IRB)。蓝色曲线为复根边界(CRB),这些边界所包围的红色区域为能保证闭环系统稳定的k_i和k_d参数集合。图4为本发明实施例中选取控制参数k_p=1,k_i=0.5,k_d=0.5,λ=0.5,μ=1.2时的单位阶跃响应曲线,该组控制参数能够保证闭环系统稳定,从而表明了图3所获得的控制参数稳定域的有效性。图5为k_p=[0,2],λ=0.5,μ=1.2的情况下,(k_p,k_i,k_d)空间上的三维稳定域。图6为λ=0.98,μ=1.02时k_p关于ω的曲线图。根据该图可以确定k_p=0时所对应的奇异频率值。图7为本发明实施例中k_p=0.5,λ=0.98,μ=1.02时,(k_d,k_i)平面上的参数稳定域,其中,红色区域为能保证闭环系统稳定的k_i和k_d参数集合。图8为本发明实施例中,人机相互界面中的被控对象参数设置界面。图9为本发明实施例中,人机相互界面中的被控对象表达式显示界面。图10为本发明实施例中,人机相互界面中设置参数k_p,λ和μ。图11为本发明实施例中,人机相互界面中显示的(k_i,k_d)平面上的参数稳定域。图12为本发明实施例中,人机相互界面中显示(k_p,k_i,k_d)空间上的三维稳定域。图13为本发明实施例中,选取控制参数k_p=0.5,k_i=1.309,k_d=0.672,λ=1和μ=1时的单位阶跃响应曲线,该组控制参数不满足用户预期的性能指标。图14为本发明实施例中,选取控制参数k_p=0.5,k_i=0.3629,k_d=0.228,λ=1和μ=1时的单位阶跃响应曲线,该组控制参数可获得符合用户要求的性能指标。图15为本发明实施例中,在(k_i,k_d)平面上选取参数k_i和k_d,显示闭环系统的单位阶跃响应曲线和超调量,上升时间,调节时间,相位裕度及幅值裕度等指标。
具体实施方式
以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步描述。如图1所示,首先利用工控系统对控制对象进行继电反馈辨识,确定其模型参数;然后将模型参数和用户选取的分数阶PID控制器参数λ,μ和k_p输入人机交互界面;基于分数阶PID控制器的控制参数稳定域求解算法,通过判断λ+μ的值计算出复根边界(CRB),通过比较β_n+μ和α_n的大小计算出无限边界(IRB),进一步判断稳定域位于边界线的哪一侧,从而直观的给出由各边界线围成的分数阶PID控制参数稳定域;用户可通过鼠标点击选取控制参数稳定域中的控制参数值,确定能够到达预期性能指标的分数阶PID控制参数值,从而实现对被控对象的分数阶PID控制。实施例:将本发明提出的控制方法用于造纸生产过程自动控制系统,其目的是生产具有恒定定量的纸张。设计要求为:保证系统响应无超调,幅值裕度在区间[8db,13db]中,相位裕度大于60°,调节时间小于8s,上升时间小于20s。接下来介绍具体实施步骤:(1)利用该造纸生产工控系统对控制对象——典型的长网纸机进行自动继电反馈辨识,结果得到定量控制的造纸机动态模型为ntent="drawing" img-format="tif" inline="yes" orientation="portrait" wi="343"/>即a₁=1,a₀=1,α₁=1,α₀=0,b₁=0,b₀=1,β₀=0,θ=1。(2)根据分数阶控制器的特点及λ+μ是否等于2选取两组参数值,分别为:(a)λ=0.5,μ=0.8(b)λ=0.1,μ=1.9。(3)根据步骤(2)中的两组参数值分别确定实根边界(RRB)、无限边界(IRB)和复根边界(CRB)。(a)λ=0.5,μ=1.2首先确定实根边界线(RRB)为k_i=0,无穷边界线(IRB)曲线为k_d=0,如图3中红色虚线所示。由于λ+μ≠2,采用3-D法计算得复根边界(CRB)表达式为 k i = 1 ω λ + μ sin [ ( λ + μ ) π 2 ] × B 1 D 1 - B 2 D 1 + k p ( B 1 C 2 - B 2 C 1 ) A 1 2 + A 2 2 ]]> k d = 1 ω λ + μ sin [ ( λ + μ ) π 2 ] × A 2 D 1 - A 1 D 2 + k p ( A 2 C 1 - A 1 C 2 ) A 1 2 + A 2 2 ]]>其中A₁=1A₂=0 B 1 = ω λ + μ cos [ ( λ + μ ) π 2 ) ] ]]> B 2 = ω λ + μ sin [ ( λ + μ ) π 2 ) ] ]]> C 1 = ω λ cos ( λ π 2 ) ]]> C 2 = ω λ sin ( λ π 2 ) ]]> D 1 = ω λ + 1 cos [ ( λ + 1 ) π 2 ) + ω ] + ω λ cos ( λ π 2 + ω ) ]]> D 2 = ω λ + 1 sin [ ( λ + 1 ) π 2 ) + ω ] + ω λ sin ( λ π 2 + ω ) ]]>通过遍历k_p,基于上述表达式可在二维空间k_i-k_d空间获得稳定域的复根边界(CRB),如图3中蓝色曲线所示。(b)λ=0.98,μ=1.02当λ+μ=2时可以用奇异频率法来求解稳定域,得到的关于k_p和k_i的复根边界线的表达式k_p=ωsin(ω)-cos(ω)k_i=ω²k_d+ω²cos(ω)+ωsin(ω)根据表达式可以画出k_p关于ω的曲线图,如图4所示。从图中可以得出,在k_p=0时的奇异频率如下Ω⁺={0.8603,6.4373,12.6453,...}Ω^-={3.4256,9.5293,...}从而在(k_d,k_i)平面可以得到以下RRB和CRB曲线(I)k_i=0,k_p=-1(RRB)(II)k_i=ω_η²k_d+ω_η²cos(ω_η)+ω_ηsin(ω_η)(CRB),其中,ω_η∈Ω^-UΩ⁺。(4)实根边界(RRB)、无限边界(IRB)和复根边界(CRB)将控制参数空间分成了若干区域,为了准确判断哪个区域是控制参数的稳定域,还需确定这些边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点。考虑3)中的两种情况:(a)λ=0.5,μ=1.2由于λ+μ<2时,沿着ω增大的方向,稳定域位于边界线的左侧,且对于实根边界(RRB)和无限边界(IRB),k_i和k_d必须都大于零,由此可得图3中红色区域所表示的控制参数稳定域。选取该区域中的控制参数k_p=1,k_i=0.5,k_d=0.5,基于图2中的单位反馈回路验证系统是否是稳定的。给一个单位阶跃信号作为系统的输入,可得到如图4所示的系统输出响应曲线。响应曲线表明该组控制参数能够保证闭环系统稳定,从而验证了所获得的控制参数稳定域的有效性。若对不同的k_p值进行遍历,并重复3)和4)可以获得图5所示的(k_p,k_i,k_d)空间上的三维稳定域。(b)λ=0.98,μ=1.02首先判断稳定域位于(RRB)的哪一侧,因a₀=1≠0,[f₁(ω)sin(ωθ)+f₂cos(ωθ)]_ω=0=-1,则k_i>0,即稳定域位于k_i>0的一侧;稳定域位于无限边界(IRB)k_d=-1和k_d=1之间;稳定域位于复根边界(CRB)的哪一侧由以下规则确定:(I)对所有ω_η∈Ω⁺,k_i<ω_η²k_d+ω_η²cos(ω_η)+ω_ηsin(ω_η);(II)对所有ω_η∈Ω^-,k_i>ω_η²k_d+ω_η²cos(ω_η)+ω_ηsin(ω_η);因此得到(k_d,k_i)平面内的分数阶PID参数稳定域,如图7所示。(5)将(3)和(4)的控制参数稳定域求解算法进行编程并将程序嵌入到GUI图形软件界面工具中,即可直观、简单地实现满足多个不同性能指标的控制参数选取,从而实现分数阶PID控制器的满意设计。具体步骤如下:(a)点击“G(s)参数”按钮,设置被控对象的各个参数,如图8;(b)点击“显示G(s)”按钮,可显示设置的G(s)的传递函数,如图9;(c)“C(s)参数(k_p,λ,μ)”文本框中输入参数k_p,λ和μ,如图10;(d)点击“二维稳定域”按钮,显示k_i-k_d平面上的PID参数稳定域,如图11;(e)点击“三维稳定域”按钮,显示k_p-k_i-k_d空间上的三维稳定域,如图12;(f)点击“选取参数”按钮,并在k_i-k_d平面上点击选取参数k_i和k_d,可获得闭环系统的单位阶跃响应曲线和超调量,上升时间,调节时间,相位裕度及幅值裕度等性能指标,如图13。在给出的分数阶PID参数稳定域中选取控制参数k_i=1.309和k_d=0.672,结合之前确定的参数k_p=0.5,λ=1和μ=1,得到闭环系统的单位阶跃响应曲线,如图14所示。相应的性能指标为,超调量33.8%,上升时间2.6s,调节时间12.95s,相位裕度30.94°,幅值裕度5.01db,不满足系统响应无超调这一预期性能。选取控制参数k_i=0.3629和k_d=0.228,得到闭环系统的单位阶跃响应曲线,如图15所示。相应的性能指标为,超调量0,上升时间13.2s,调节时间6.85s,相位裕度78.0408°,幅值裕度12.4284db,满足系统响应无超调和上升时间尽可能短的要求。同时用户还可通过在线调节控制器参数来调节控制效果,获得更好的性能指标。本发明采用的算法简单,结果直观准确,不仅具有理论价值,还有实用价值。采用本发明设计的分数阶PID控制器,能够获得良好的动态性能,因此可广泛应用于能源、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业中各类企业的生产过程控制。在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。